Estudio gnomónico de la hipérbola

Autor: Rubén CALVINO

 

 

La hipérbola gnomónica

 

0Los antiguos griegos se dieron cuenta de que si tomaban un cono circular recto y lo seccionaban mediante cortes realizados en diferentes ángulos, además del círculo, se formaban  otras curvas a las que simplemente llamaban “de sección cónica”.

Fué entonces que Apolonio de Pergamo (262/190) las diferenció y llamó Hipérbola, Parábola y Elipse, teniendo en cuenta la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y el ángulo de inclinación del plano respecto del eje del cono  (β).

β < α : Hipérbola
β = α : Parábola
β > α : Elipse
β = 90º: Circunferencia

 

Como curva, la hipérbola es una de las cónicas conformada por una sucesión de puntos coplanares

cónicas y ángulos

Como lugar geométrico, la hipérbola es la relación constante 2a que se verifica en la diferencia que resulta de comparar los radios vectores y/o las distancias de un punto de la curva, respecto a dos puntos cualquiera del plano tomados como focos F1 y F2.

Como recurso gnomónico, la hipérbola es la curva cónica de sombra determinada por el factor gnomónico (fg) entendido como diferencia absoluta y constante propia del sitio, verificada en la diferencia entre los radios vectores de un punto M de la curva, respecto a otros dos puntos cualesquiera del plano F1 y F2, tomados como focos.

MF1 -MF2 = 2a = fg

Luego, siendo el factor gnomónico la diferencia algebraica de las sombras específicas del mediodía de los solsticios extremos, es también la diferencia algebraica entre la sombra específica mínima (mediodía) que se registra durante el día del solsticio de invierno, menos la sombra específica mínima (mediodía)  que se registra durante el día del solsticio de verano.

MF1= (tg Lº+23,44º)

MF2= (tg Lº-23,44º)

Por lo que 

2a = fg = (tg Lº+23,44º) – (tg Lº-23,44º) = factor gnomónico

fg = (sombra específica solsticio de inv.) – (sombra específica solsticio de ver.)

De donde conceptualizando en términos gnomónicos:

(umbra verano) = (umbra invierno) – fg

(umbra invierno) = (umbra verano) + fg

Es decir que en términos gnomónicos, la hipérbola es la graficación en el plano, de una curva de sombra determinada por el factor gnomónico del sitio estudiado.

Pero por otro lado también, al hablar de diferencia de sombras específicas, sin decirlo, estamos incluyendo la altura gnomónica como unidad de medición, de manera que implícitamente al hablar de sombras específicas, hablamos también de la diferencia algebraica de las tangentes de los distintos ángulos de incidencia solar, multiplicadas cada una de ellas por la altura del gnomón h, y luego todo ello dividido por esta misma altura del gnomón h.

De manera tal que, si desde el ocultamiento específico, hacemos explícita la altura en la expresión del factor gnomónico, tenemos que:

fórmulafórmula 1

Aplicando la propiedad asociativa:

fórmula 7

Conceptualizando la expresión:

formula 4

Esta expresión nos habilita a utilizar un gnomón de altura variable al infinito, con el cual proyectar distintas sombras que, tomadas arbitrariamente como uno de los radios vectores, permite sumar o en su defecto restar el valor del factor gnomónico y de ese modo determinar el otro radio vector.

De esta manera la variabiliidad al infinito de altura del gnomón, dará como resultado que la curva tienda a contener infinitos puntos y que en esa tendencia hacia el infinito teóricamente se tocaría con la asíntota; y todo ello sin variar el factor gnomónico.

Lo que hemos hecho entonces, fue admitir que para  la variabilidad de alturas al infinito del gnomón,  existirán infinitos puntos de la curva e infinitos  pares de radios vectores de sombras que se corresponderán al infinito.

Pero resulta que variar la altura del gnomón al infinito para producir radios vectores de sombras variables, no es el único recurso posible, ya que gnomónicamente, esta posibilidad supone mantener una fuente lumínica solar fija, con lo cual, valiéndonos de la relatividad del movimiento,  podemos imaginar que, en lugar de un gnomón de altura variable, tengamos un Sol moviéndose en el arco diurno, como a sí también, tal cual ocurre en realidad, que el gnomón mantenga una altura fija y el Sol no se mueva y solo en cambio, se desplace copernicanamente la tierra.

Matemáticamente, nada cambia optando por uno u otro recurso gnomónico aunque sí, hay que estar atento al momento de interpretar los resultados gnomónicos; no obstante y a los efectos de generalizar esas ideas, presentamos un cuadro conteniendo las longitures relativas de los radios vectores de sombra junto a los valores de factor gnomónico más frecuentes, a los efectos de facilitar la construcción de las hipérbolas de sombrs.

 

Elementos de la hipérbola

x e y: ejes cartesianos

x:  eje de abscisas o real de la meridiana del lugar

Fy F2: focos

y:  eje de ordenadas o imaginario girado 90º respecto del eje de abscisas y en coincidencia con la dirección de los paralelos geográficos.

O:  cs el centro cartesiano definido por la intersección de ambos ejes cartesianos.

C:  asíntotas

D1:  directriz  solsticial de verano

D2 directriz solsticial de inviernr

e:  excentricidad  (e>1) = P Q/ PF

2a: distancia entre directrices solsticiales y factor gnomónico

c: semi-factor gnomónico

2b: distancia imaginaria

b: semi-distancia imaginaria

2c: distancia entre los focos F1 y F2,

c:  distancia entre cualquiera de los focos y el centro cartesiano O. 

 

 

Ejemplo de hipérbola de sombras

 

19,54º

 

 

Determinación de las asíntotas

tg alfa= (b/a) . x

Si tomamos la ecuación de la asíntota, vemos que parte del semieje imaginario b relacionado con el semieje real  a,  para desde ahí, averiguar la tangente de las asíntotas. Y esto es insuficiente para nosotros ya que no contamos con el dato b en los términos gnomónicos y tampoco se lo puede tomar arbitrariamente.

Por tal motivo, ensayamos otro camino para ir directamente en busca del ángulo en base a la declinación solar máxima y la Latitud.

Ejemplo de un sitio ubicado a 40º de Latitud:

TG 40

Si se observa dinámicamente el dibujo, se podrá apreciar que al girar en un ángulo de Latitud, cualquiera, por ejemplo 40º en el sentido de las agujas del reloj, el segmento OA, que representa al seno del ángulo de 23,44º o punto extremo de la declinación por un lado alcanza los  63,44º y por otro, el segmento OA, proyectado sobre el plano estereográfico adquiere la forma de OA`con una longitud claramente mayor  y dado que el ángulo que separa a ambos segmentos, el OA y su proyección OA`,  es precisamente el de la Latitud de 40º, tenemos que OA`será igual a OA/cos40º, y que este segmento OA`es a su vez el coseno del ángulo O  A` B, de lo cual surge que el Arco Coseno de esta relación será el correspondiente al ángulo  O A`B que es el ángulo que determina el punto sobre la circunferencia por donde deberán interceptarse la directriz solsticial y la asíntota.

Concluimos entonces que el ángulo alfa por donde deberá pasar la asíntota  es:

ángulo

 

 

Módulo Solar y asíntotas

El Módulo Solar (MS) es simplemente un indicador reflejo que se ubica en el eje imaginario B, B1 de la función hiperbólica de sombras, en tanto que el factor gnomónico (fg) lo es de las sombras, pero en el eje real A A1 de la hipérbola; ambos indicadores gnomónicos se conjugan para construir las hipérbolas de sombras.

La manera antigua de calcular el Módulo Solar del lugar, se basaba en dividir la altura gnomónica “h” por la longitud de la hipotenusa del triángulo gnomónico “r” (rayo solar) en el mediodía de equinoccio.

La forma analítica y actual de calcularlo, se basa en reinterpretar la relación de la altura gnomónica y la hipotenusa del triángulo gnomónico como coseno del ángulo de incidencia solar, y a este coseno se lo multiplica por diez, por lo que decimos que el MS es diez veces el valor del coseno del ángulo de la incidencia o de proyección solar del sitio hallado trigonométricamente.

Siendo 3,9779 = seno 23,44ºx 10, la relación (4/MS), no es otra cosa que una aproximación empírica basada igualdad práctica de 3,9779= 4, lo que por otro lado también, se aproxima a las veces que un ángulo cercano a la declinación solar entra en el cuadrante de 90º, 23,44º x 4= 93,76º (esta relación sirve para fines prácticos)

El Módulo Solar no es una magnitud física y al igual que el factor gnomónico, se comporta como un indicador de la proximidad que un sitio cualquiera guarda, respecto del eje del Ecuador. En el caso del factor gnomónico esa proximidad la indica mediante un valor que refleja la longitud de sombras, en tanto que el Módulo Solar lo hace reflejando la luminosidad solar.Como se ve, son indicadores opuestos.

Ambos términos son muy útiles al momento de construir la hipérbola de sombras, el factor gnomónico lo hace en el eje real como 2a, y el Módulo Solar como un simple indicador en el eje imaginario.

Aclarado esto, digamos que, siendo el MS igual a diez veces el valor del coseno y siendo el ángulo el correspondiente al Arco Coseno de la relación entre el seno del ángulo de 23,44º dividido el coseno de la Latitud del sitio, es el ángulo igual al Arco Coseno de diez veces el seno de 23,44º sobre el Módulo Solar respectivo. En símbolos:

ángulo

MS

 

Resumiendo entonces, vemos que conociendo el factor gnomónico tenemos determinada la relación entre los radios vectores de la hipérbola y si además de esto contamos con el valor del Módulo Solar, muy fácilmente se puede hallar el ángulo de las asíntotas.

Si bién el dato del MS (el cual repetimos que no es magnitud física) no es imprescindible, aunque no obstante, resulta ser un práctico factor de forma y muy buen indicador reflejo de la luminosidad solar del sitio.

Finalmente digamos que el MS varía de un valor de 4 en las proximidades de los círculos polares a 10 en el Ecuador y atendiendo a su variabilidad, se pueden graficar las asíntotas como indicadoras de la forma más general de las hipérbolas en el planeta.

 

 

Conjeturas

Aunque no hay fuentes claras al respecto, podemos sospechar que  el concepto de Módulo Solar (MS) pudo haberse originado en la Región Sumeria, debido a los avanzados conocimientos gnomónicos y de triángulos gnomónicos que han quedado evidenciados en la tabla de Plimpton 322 y que fuera motivo de estudio de varios investigadores , entre los que destacamos al Dr Raúl Perez Enriquez.

Los sumerios, pese a no haber hablado de “coseno del ángulo de la Latitud”, por cuanto estos términos y recursos trigonométricos no existían por entonces, sí en cambio manejaron las relaciones congruentes entre cada uno de los lados y la hipotenusa del triángulo gnomónico, de manera que tranquilamente pudieron dividir la altura del gnomón h por la longitud del rayo de proyección solar  r  que configura la hipotenusa del triángulo gnomónico y así,  al ser el propio gnomón el lado adyacente del ángulo de incidencia solar, la relación de este lado con la hipotenusa, no era otra cosa que lo que hoy llamamos coseno del ángulo de incidencia solar y que multiplicado por 10 nos da el Módulo Solar del lugar.

ms 10

Por tal razón y despojado del misterio y la ritualidad con que algunos lo envuelven y otros creen verlo envuelto, hemos rescatado este antiguo concepto, el cual, por otro lado y al igual que el factor gnomónico, son indicadores relativos de carácter universal que indudablemente resultan útiles a los efectos del cálculo gnomónico en general y en el caso particular del MS, del ángulo de las asíntotas.

Además, la sacralización (entendida como proceso epistemológico de ahistorización) que muchas veces dificulta el abordaje racional de este y otros temas semejantes, se desvanece totalmente cuando tratando de reconstruir su eclipsada historia, nos damos cuenta de que la pertenencia de este concepto a las llamadas “geometrías sagradas” y su carácter de “armonizador con el medio”, no es otra cosa que una manera que los hombres pretéritos tenían, para destacar el hallazgo de algún sitio donde la experimentación gnomónica les era factible dentro de los términos de la conmensurabilidad numérica con que ellos operaban.

No es casual que donde gnomónicamente se pudo originar algún calendario y prosperó un tipo de cultura, el valor del factor gnomónico se verifique unitario y/o entero. Lo mismo ocurre con el valor del MS.

Es que en el pasado, con el propósito de que los cálculos se pudieran realizar sin dificultades aritméticas, se buscaban lugares habitables en Latitudes sobre las que sus sombras, en los mediodías solsticiales y/o equinocciales medidas y relacionadas con la altura del gnomón o entre sí, siempre arrojara valores enteros  y conmensurables, de manera que cuando esto se hallaba en algún lugar que se veía habitable, obviamente que jubilosos iban a sentenciar que ese lugar estaba en “armonía”; pues la vida era posible en correspondencia con las sombras y los números arrojados.

Lugares donde además e ser habitable, se encontraban con que la Sombra equinoccial, el factor gnomónico y/o el Módulo Solar arrojaban valores  enteros, aparecían por lo menos como prometedores para la supervivencia y en tal contexto, me pregunto:

¡Como no entender que nuestros ancestros lo consideraran sagrado!

¡Como no entender que se sintieran en armonía si el sitio lo estaba con sus propósitos!

 

 

Orcadas de Escosia

Stonehenge escosés

Seq= 1,66

fg= 7

MS= 5,15

 

Stonehenge

Seq=1,235

fg= 3,00

MS= 6,3

 

Madrid

Seq = 0,86

fg= 1,73

MS= 7,6

 

Buenos Aires

Seq= 0.7

fg= 1,42

MS= 8,2

 

Norpatagonia

Calendario lunisolar Mapuche

Seq= 0,9545

fg= 2

MS=7,234

 

Patagonia media

Rewe mapuche

Seq= 1

fg= 2,136

MS= 0,7

 

Región Olmeca 

Seq= 0,355

fg =1,00

MS 0,94

 

 

 

Deteminación cuadrangular

La cuadrangularidad buscada,  surge de los cortes que las asíntotas producen sobre sendas directrices solsticiales extremas.

cuadrante

 

Determinación de los focos F1 y F2

En base al cuadrilátero, con el compás se determinan los focos F1 y F2

FOCOS

 

 

Construcción de la curva con regla y compás

Una vez determinadas tanto las asíntotas S1 y S2, como los focos F1 y F2, y entendiendo que la hipérbola es una curva cónica plana, en la que el valor de la diferencia absoluta de sus radios vectores respecto de los focos F1 y F2, es siempre igual a la constante positiva 2a, munidos de una regla y un compás, podemos comenzar a construir la hipérbola luego de observar que:

a.- Hemos dibujado los ejes cartesianos y además, a uno y otro lado del eje de ordenadas, se han dispuesto las líneas que indican los valores  de los factores gnomónicos 1,2,3 y 4, que son los más usados.

b.- Gnomónicamente, sabemos que la constante 2a como distancia entre las directrices de la hipérbola, es el factor gnomónico que la determina, de manera que los radios vectores a tomar del gráfico serán en base a este valor.

c.- Para trazar la curva del ejemplo tomaremos el valor de un factor gnomónico 3 e indicaremos con colores los radios vectores correspondientes.

 

Procedimiento

1.-Con el compás se toma del gráfico el radio vector mayor X1A del par H1, y luego,  haciendo centro en F1, se traza un pequeño arco en el plano opuesto.

2.-Con el compás se toma el radio vector menor X1B del par H1 y luego, haciendo centro en F2, se busca intersectar con la marca anterior.

3.- Determinado el primer punto lo denominamos H1

4.– Con el compás se toma del gráfico el radio vector mayor X2A del par H2, y luego,  haciendo centro en F1, se traza un pequeño arco en el plano opuesto

5.– Con el compás se toma el radio vector menor X2B del par H2, y luego, haciendo centro en F2, se busca intersectar con la marca anterior.

6.– Determinado el primer punto lo denominamos H2
Este procedimiento, se repite tantas veces como puntos se pretendan determinar.
Radios vectores de sombras
A los radios vectores de sombras de distintas longitudes, conforme surge de la expresión matemática, se los puede concebir como sombras producidas por alturas gnomónicas diferentes, en un mismo sitio y situación , o también, si se lo prefiere, cual simples longitudes de sombras producidas por cualquier otra variable que sustitutivamente, admita la expresión matemática.
A los efectos de reducir la ilustración, la escala elegida es un tanto apretada y ajustada también es la gráfica de la hipérbola, no obstante lo cual, pueden usarse escalas mayores que faciliten el dibujo.
Referencias.
Los puntos los identificaremos como H1, H2, H3…Hn
Los radios vectores como R1, R2, R3, Rn…
 rds vctr

 

 

Curva de sombras para Latitud 51º, fg 3 y MS 6,3

 

51.

 

Determinación del eje gnomónico en relación a las directrices

La directriz solsticial de verano se ubica respecto del eje gnomónico a a distancia dada por la ecuación:

Sombra específica del solsticio de verano= (tg Lº-23,44º)

El eje gnomónico en consecuencia, se ubica respecto de la directriz solsticial del verano, a una distancia igual a la sombra solsticial específica del verano.

 

 

Determinación de la recta equinoccial

La recta equinoccial se ubica respecto del eje gnomónico, a una distancia determinada por la ecuación de la sombra equinoccial:

Sombra específica equinoccial = tg Lº

La recta equinoccial en consecuencia, se ubica respecto del eje gnomónico, a una distancia igual a la sombra equinoccial específica.

Observaciones generales:

Cuando hablamos de sombra específica o “umbra” nos referimos a la longitud de cualquier sombra dividida por la altura del gnomón que la produce y en general, salvo que se especifique en contrario, las sombras equinocciales y/o solsticiales son las del mínimo de sombra del mediodía.

En cuanto a las escalas K se pueden usar a voluntad y como ejemplo dejamos completada la hipérbola para una Latitud de 51º en escala K= 2,5

51º

Rubén CALVINO

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2 comentarios en “Estudio gnomónico de la hipérbola

  1. Un aspecto interesante en torno al Módulo Solar, es que además de relacionarse con las asíntotas hiperbólicas, para los antiguos sumerios y egípcios quizás, también debieron ser un indicador de la proporcionalidad de la altura de los gnomones ya que cuanto mayor es el MS, menor es el ángulo de incidencia solar y menor las longitudes de las sombras, lo cual indica que a mayor MS, mayor deben ser las alturas de los gnomones a levantar en ese sitio para de esa manera provocar sombras mas largas y fáciles de medir y comparar.

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