Pitágoras y la conmensurabilidad

Autor: Rubén CALVINO

 

 

 

Un poco de historia

0Todo comienza con el triángulo de lados (3,4,5), el cual, aunque conocido por el ser humano desde tiempos remotos y según entendemos desde este lugar, como resultado de la experimentación gnomónica, es recién en Egípto, sin embargo, donde tardíamente quizás, aparece asociado  a la Diosa Isis, su esposo Osiris e hijo Horus, representando a una tríade de fuerte protagonismo materno que al parecer, habría motivado suficientemente como para que algunos investigadores comenzaran  a llamarlo  !triángulo isíaco!.

Se sabe  que los antiguos manejaban una geometría sagrada y secreta proveniente de Babilonia, que se basaba en el conocimiento de ciertos tipos de triángulos rectángulos derivados del básico de lados (3,4,5), la cual ejerció gran influencia tanto en el Antiguo Egipto como en la Antigua Grecia.

Pudo ser que el nombre isíaco fuera consecuencia del fuerte rol materno que sugiere  el mito egípcio, aunque también hay quienes para referirse a esta tríada lo hacen apuntalando el rol paterno de Osiris y lo llaman  triáde osírica. Pero sea cual fuere el nombre,  lo que parece quedar claro es que  la inevitable asociación en aquellos tiempos del conjunto familiar primigenio del padre, la madre y el hijo mítico, con un triángulo sagrado, pudo dar lugar a que el propio triángulo de lados (3,4,5), como triángulo rectángulo mas esencial y conocido, se lo conociera con el nombre propio de la familia mítica. Es decir que, la familia mítica vióse como un triángulo y simultáneamente también, al triángulo se lo vió como la representación de tal familia mítica.

Se le asigna a Plutarco de Queronea (46 o 50 /120), el haber relatado esta posibilidad acerca del llamado ‘‘triángulo más perfecto’’, compuesto por  Osiris (3), Isis (4) y Horus (5), quienes  encarnaban respectivamente la Inteligencia como principio creador masculino, la Materia como hembra a fecundar y el Cosmos como el resultado engendrado.

Entre las propiedades propias del triángulo isíaco que destaca Plutarco, resulta siempre curioso e interesante señalar que,  el área del triángulo de lados (3,4,5) es 6, pues siendo la superficie del triángulo igual a base por altura sobre dos, es base 3, por altura 4 igual a 12, lo que sobre dos, nos da 6  como bien dice Plutarco; y luego dice que 6 es el primer número perfecto porque es el primero de los números naturales  en resultar igual a la suma de sus divisores propios positivos, los cuales son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

Luego Plutarco dice que el cubo del área del triángulo de lados (3,4,5), es decir seis multiplicado tres veces, es 216, lo que además resulta igual a la suma de los cubos de sus lados.

Veamos:nada

3x3x3= 27, sumado a 4x4x4= 64, mas 5x5x5= 125, lo que efectivamente suma 216 como afirma Plutarco.
pitágorasPitágoras
Platón (427/347) quien aunque fuera discípulo de Sócrates (470/399), deja  notoria evidencia  en su obra de haber recibido una fuerte influencia de la filosofía de Pitágoras (569/475) que para el caso del triángulo que nos ocupa, se aprecia cuando Platón, refiríendose al valor de la hipotenusa 5, el cual surge como el resultado de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, lo hace llamándolo “nupcial” (La República, libro VIII) ya que lo entiende como lo concebían los pitagóricos, cual resultado de la relación macho/hembra de los números 3/4 y esto da lugar a que también al triángulo isíaco algunos lo llamen triángulo de Platón.
Es que los pitagóricos calificaban a los números pares como femeninos y a los impares como masculinos y curiosamente es Isis el número par 4, y 3 Osiris, pues también el número 5, reservado para Horus, era el símbolo del matrimonio, de la unión de los dos primeros números de distinto sexo y que como dijimos, Platón llama nupcial en La República.
Con mas detalle, la unidad no era considerada un número, sino el símbolo de la divinidad antes de la creación por la dualidad diferenciadora entre la negación-afirmación, luz-oscuridad, femenino-masculino, etc., incluso el mismo Aristóteles de Estagira (384/322) tiene esta mirada, de manera que el primer número no era la unidad sino que era el 2, considerado femenino, y el 3 como el primer número masculino.
 nada
Para lograr una mayor rigurosidad argumental que nos permiten asociar el triángulo de lados (3,4,5) con el mito egipcio y la idea del saber general, veamos que dice Plutarco de Queronea (46 o 50 /120) , en la parte LVI su obra “De ISIS y OSIRIS”.
 nada
<<La naturaleza divina y más perfecta, por tanto, se compone de tres principios:lo inteligible,la materia y la combinación de ambos, que los griegos llaman cosmos organizado.La nomenclatura utilizada por Platón es IDEA, modelo o PADRE para referirse al principio inteligible; al principio de la materia lo denomina MADRE, nodriza o base de la generación; y al vástago de ambos, al producto de su unión, le da el nombre de DESCENDIENTE o ENGENDRADO.
Parece plausible pensar que, para los egipcios el triángulo rectángulo estuviera considerado como el más perfecto de los triángulos, comparándolo con la figura del universo.
Según parece también, Platón lo utilizó en su República para dar imagen a su idea de matrimonio.
Se aprecia en dicho triángulo una vertical de tres unidades, una base de cuatro y una hipotenusa de cinco; el cuadrado de esta hipotenusa tiene el mismo poder que la suma de sus dos lados.

 

isíaco platónico

 

Parece necesario por tanto, figurar el ángulo rectángulo como macho, la base como hembra y la hipotenusa como el producto de uno y otro.Análogamente, consideraremos a Osiris como principio, a Isis como la substancia receptiva y a Horus como el resultado de la unión del primero y el segundo. Podemos apreciar asimismo que el tres es el primer número impar, perfecto por tanto, cuatro el cuadrado del primer número par, y cinco, la suma de dos y tres, tiene parte de su padre y parte de su madre.La palabra pente (cinco) proviene de la palabra panta (todo) y para decir contar, se emplea la expresión compuesta contar por cinco.
El cuadrado de cinco, a su vez, da un número igual al número de letras del alfabeto egipcio, e igual, asimismo, al número de años que vivió Apis.El pueblo egipcio da el nombre de Min a Horus, que significa visto, porque el mundo es visible y sensible.A Isis le dan a menudo el nombre de Mouth, Athiri o Mehver.La primera significa madre, la segunda habitáculo terrestre de Horus, que es a lo que se refiere Platón cuando le da el nombre de lugar o receptáculo de la generación, la tercera se compone de lleno y causa de bien, por lo que la materia del mundo es llena y relacionada con la causa del bien, el orden y la pureza>>

Finalmente para coronar este argumento en cuanto a la asociación del triángulo en general con el saber filosófico, digamos también que hasta Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770/1831) en su ” Ciencia de la Lógica”, retoma el concepto de triangulación con la expresión de tríada dialéctica y lo utiliza para hacer referencia a la concepción de la realidad como un proceso de desarrollo que se produce en tres momentos, y movido por el principio de la contradicción.

hegel b y n

Hegel

 

 

Triada “isíaca”de Osorkon.

En el Museo del Louvre, París, se encuentra una pieza con tres figuras que representan a los dioses de la mitología egipcia:
Osiris, el dios de la resurrección, Isis, la diosa de la maternidad y del nacimiento, y finalmente Horus “el elevado”, el dios celeste; es decir los tres componentes de la llamada tríada isíaca.
La joya tiene grabado el nombre de Usermaatra Setepenamón Osorkon, u Osorkon II, faraón de la dinastía XXII de Egipto que reinó de 874 a 850 a. C, según Grimal, Arnold y Shaw, durante el Tercer periodo intermedio de Egipto.
Osiris era el jefe de la tríada, formada por Osiris, su mujer Isis y el hijo de ambos, Horus.
El mito de Osiris introduce las nuevas ideas del bien y del mal y es el relato más elaborado e influyente de la antigua mitología egipcia, que trata sobre el asesinato del dios Osiris, un primitivo rey de Egipto, y sus consecuencias.
Quien asesinó a Osiris fue su propio hermano Seth, el cual le usurpó el trono.
La esposa de Osiris, Isis, recuperó y restauró el cuerpo de su esposo y concibió póstumamente un hijo con él.

Isis era Ast, es decir el “trono”, tal el significado de esta palabra, y ese trono estaba representado por el jeroglífico que portaba Isis sobre su cabeza representando al arco solar diurno..

Isis fue denominada “Gran maga”, “Gran diosa madre”, “Reina de los dioses”, “Fuerza fecundadora de la naturaleza”, “Diosa de la maternidad y del nacimiento”.que no por casualidad supo ostentar ese particular tocado con el disco solar, por ser hija de Ra, el dios Solar y de ella el mito tomó su nombre.
Es decir que, la tríada mitológica isíaca, configura los tres lados del mundo egipcio y como el único conjunto de triángulo calculable de entonces, pudo haber sido el que surgía a partir de los lados (3,4,5) y a este tiángulo fundante se lo llamó como al mito; triángulo isíaco.

 

La soga de doce nudos, Pìtágoras y los algorítmos

Si en lugar de hallar un segmento máximo común a dos segmentos, tal como lo hizo Euclides (325/265), intentamos dar con el área máxima y común que sea capaz de dividir en términos enteros a dos superficies, nos introducimos directamente en la resolución que  Pitágoras le dió a la generación de ternas hoy llamadas pitagóricas.

La historia de la ciencia nos dice que  Pitágoras (580/500)  desarrolló un método para la construcción de triángulos rectángulos de lados enteros que geométricamente, parte de construir un cuadrado perfecto para cada uno de los lados y verifica que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

isíaco

Para lograrlo, pudo haberse basado en el  el triángulo isíaco que naturalmente configura una persona de pié a la que se la considera de una altura de cuatro unidades y luego, aplicando el método algorítmico vemos que solo hay que restar una unidad cuadrada de lo que se resuelva como máximo cuadrado común a las tres áreas formadas por los lados, por un lado, y sumar por otro, una unidad cuadrada a la mismo valor de la máxima superficie cuadrada común. Seguido a ello, ambos valores tomados linealmente serán respectivamente el cateto menor y la hipotenusa.

Es decir que en primer lugar se trata de hallar una superficie capaz de dividir congruentemente a las superficies cuadradas del triángulo rectángulo para luego a ella restarle y sumar seguidamente una unidad cuadrada.

 

3 ALTURAS

A tal efecto, se toma una soga o cuerda de tres veces la altura de la persona y sin que cambie su longitud total se le practican doce marcas regulares o nudos, tendremos que cuatro de las marcas coincidirá con la medida de la altura de la persona experimentadora, tres con el cateto menor, a la manera de una sombra en el piso y cinco serán los nudos de la hipotenusa del triángulo formado naturalmente por la persona de pié..

Si luego tomamos el cuadrado de la mitad de la altura de la persona, tendremos cuatro unidades cuadradas que mas una unidad cuadrada dará el valor de 5. Luego a esa misma superficie le restamos una unidad cuadrada y nos dará 4. 5 y 4 serán respectivamente los valores del cateto menor y la hipotenusa del triángulo rectángulo.

El método no tiene en cuenta ninguna medida absoluta de la altura sino que siempre la altura humana es de 4 implícitos nudos y/o marcas de la soga o cuerda, de modo que no interesa la medida absoluta de la altura humana,

De esta manera para cualquier altura solo hay que tomar tres veces su longitud y operar mediante los doce nudos o marcas y hallar la superficie común sobre la que sumaremos y restaremos una unidad cuadrada de nudo y/o marca.

Este método, Pitágoras lo pudo haber tomado de alguna práctica egipcia vinculada al uso práctico de la soga de doce entre-nudos para dividir superficies, y a tal efecto habría partido de la figura humana con una altura de cuatro nudos medidos con su propia soga.

Si a cualquier altura humana se la iguala a los cuatro espacios entre-nudos de su propia soga formando un rectángulo holgadamente periférico, como si fuera la abertura de una puerta de cuatro nudos de altura por dos nudos de ancho, y luego a dicha abertura de puerta se la divide en dos partes iguales que llamamos K, nos quedan dos cuadrados de superficies iguales de 2 por 2 entre-nudos propios y donde cada uno de ellos  es la mayor superficie común capaz de dividir a las tres áreas del triángulo sin dejar resto.

Si ahora a una de las medias cuadradas le sumamos una unidad de un entrenudo cuadrado y a la otra media cuadrada le quitamos un entrenudo cuadrado, en términos lineales obtendremos la altura humana “h” expresada en relación al valor de “K”.

De modo que siguiendo esta práctica, podemos expresar el resto de los lados del triángulo rectángulo en los mismos términos de “K”.

Definidos cada uno de los lados del triángulo en los términos de “K, obtenemos una expresión donde K es una variable independiente a la que se puede asignar un conjunto de valores para los que tendremos otro conjunto de ternas pitagóricas.

Si bien el conocimiento del triángulo rectángulo habría surgido en los albores de la civilización como consecuencia del descubrimiento del triángulo gnomónico, en el que la hipotenusa r es el rayo solar, el gnomón h su lado vertical y la sombra proyectada s su lado horizontal, habría sido Pitágoras quien reflexionando sobre el método empírico que utilizaban en Egipto, percibió la posibilidad de generalizarlo y de ese modo obtener infinitas soluciones mediante algún algoritmo como el descripto.

Pitágoras, en su paso por Egipto, pudo sentir la curiosidad (Aristóteles) de saber si el total de tríadas observadas estaba limitado a un número determinado y/o ese número era infinito y a tal efecto, luego de verificar que las tríadas de triángulos egipcios eran el resultado de la obtención de la media cuadrada entre mitades de la altura humana, se pudo haber planteado el tema de manera geométrica y decir por ejemplo, que:

“si dividimos la altura humana en dos partes y con cada mitad de la altura humana determinamos sendos cuadrados de lados h/2=k entero y positivo, veremos que en tanto a uno de ellos le sumamos la unidad y al otro se la restamos, obtendremos una igualdad de enteros dentro de la cual, podemos modificar el valor de la altura a voluntad sin que se altere este tipo de igualdad.

 

Ejemplo de algunos triángulos para distintos valores de K.

 

K= 2 —-(3,4,5)

K= 3 —-(6,8,10)

K= 4 —-(8,15,17)

K= 5 —-(10,24,26)

 

 

 

Rubén CALVINO

REFERENCIAS

 

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_sagrado_egipcio

 

http://www.libroesoterico.com/biblioteca/ESPECIALES2/De-ISIS-y-OSIRIS-Plutarco.pdf

 

Ver LVI

 

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