Euclídes y la conmensurabilidad

 

 

El algoritmo de Euclides

Autor: Rubén CALVINO

0Euclides, (325 /265), matemático y geómetra griego al cual se lo considera “El Padre de la Geometría”, nos ha dejado entre tantos otros conocimientos, el llamado “algorítmo de Euclides”, como un eficaz método geométrico para hallar el máximo común divisor.
En la concepción griega de la matemática, los números se entendían como magnitudes geométricas y en ella, un tema recurrente era la conmensurabilidad de dos segmentos; de manera que dos segmentos o números, como AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ, que por su tamaño cabe exactamente un número entero de veces en los primeros dos, es decir, PQ «mide» <<mensura>> a los segmentos AB y CD y poseen un segmento que por su tamaño, resulta común a ambos.
Si bien las ternas o tripletes pitagóricos ya eran conocidos con mucha anterioridad por los babilónicos, se debe no obstante a los griegos el descubrimiento de los números “a-lógicos” o “inexpresables” y que como tal,  paradojalmente se cuestiona José Babini (1897/1984), hoy llamamos “irracionales”.dentro de una ciencia absolutamente racional como la matemática.
Esta búsqueda evidencia que no cualquier par de segmentos resultan ser conmensurables entre sí, y de ello  tempranamente han dado cuenta los pitagóricos cuando establecieron que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables entre sí, pero en el caso de dos segmentos que no sean primos, se puede encontrar la conmensurabilidad hallando  la mayor medida común posible entre ellos.
Recordemos que en matemática, se dice que un número es primo en tanto sea un número natural mayor que 1 al cual únicamente se lo puede dividir por dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Los números primos se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1.
Euclides, en la proposición VI I.2 de sus “Elementos” expone un método geométrico que permite hallar esta mayor medida común posible entre segmentos /números no primos, mediante un algorítmo o onjunto ordenado de operaciones que sistemáticamente, permiten hacer un cálculo y de ese modo hallar la solución de un tipo de problemas.
Para ello se da un estado inicial y una entrada, sigue luego unos pasos sucesivos que pueden ser esquematizados como diagramas de flujo, y se llega a un estado final como solución.
Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia
El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz  que siguiendo una serie de pasos sucesivos, parte de un estado inicial que permite calcular el valor máximo y común que pueda ser capaz de dividir a dos segmentos/números no primos.

Cabe detenerse un poco y recordar como curiosidad, lo fecundo que resulta el aplicar la metodología de una a otra ciencia, ya que fue Renato Descartes, quien aplicando el álgebra a los segmentos de la geometría dio lugar al desarrollo de la geometría analítica, y con mayor proximidad, George Boole, interpretando matemáticamente la Lógica clásica, impulsó el desarrollo de la lógica simbólica.   

 

En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue:

Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.

Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD.

Si al final no queda un residuo, EA es la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA.

El proceso se repite tantas veces, hasta que en algún momento no se obtienga residuo alguno.

Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.

 

Observación:

El hecho de que los segmentos sean conmesurables, es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano

 

 

Método algorítmico de Euclides

Dos segmentos o números AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ, el cual cabe exactamente un número entero de veces en los primeros dos, es decir que PQ «mide» o <<mensura>> a los segmentos AB y CD y de ese modo la conmensurabilidad como  característica se verifica pues la relación de los dos números reales, AB y BC, resulta ser un número racional.
Si la razón de a/b es irracional, entonces se dice que es inconmensurable.

 

 

 

Posibilidades metodológicas

 

Primera posibilidad

Dados dos segmentos AB y CD de tal manera que AB sea más largo que CD, restamos CD de AB tantas veces como sea posible.

Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común.

 

Segunda posibilidad

Si se obtiene un residuo EA, éste es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD.

Si al final no queda un residuo, EA es la medida común.

 

Tercera posibilidad

En caso de que haya residuo FC menor a EA.

El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtienga residuo alguno. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.

El hecho de que los segmentos sean conmesurables, es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano

 

Representación gráfica del algorítmo

 

algoritmo

 

Rubén CALVINO

 

 

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