Del matemático suizo Ludwig Schläfli, la proyección estereográfica y la gnomónica

Autor: Rubén CALVINO

 

 

Marco histórico

Ludwig Schläfli  (1814 0 1820/1895), fue un geómetra y estudioso suizo que junto a Bernard Riemann (1826/1866), está considerado como  uno de los arquitectos fundamentales de la geometría multidimensional..

Desde 1850 hasta 1852 Ludwig Schläfli  trabajó intensamente en el estudio de la geometría lineal del espacio n-dimensional, y aunque  reiteradamente intentó publicar sus conclusiones, no pudo hacerlo y como a tantos otros investigadores de las ciencias, sus propósitos no se vieron coronados en vida pues no despertaron el suficiente interés entre quienes por entonces, entendían sobre el tema, de modo que estos estudios y sus expectativas de reconocimiento se vieron repetidamente frustrados.

Algunas veces pudo deberse a la extensión y complejidad temática y otras, simplemente al olvido, pero lo cierto es que después de un largo período de desinterés, se le pidió a Schläfli que escriba una versión reducida de su obra a lo que se negó terminantemente por considerar que era una manera de mutilar su mirada.

Es por ello que su obra entra muy tarde al escenario de la ciencia y en momentos en que  Bernard Riemann, del cual no se sabe si conocía o no los trabajos tempranos de Ludwig Schläfli, acaparaba la atención sobre estos temas.

Es que muy tardíamente y luego de su fallecimiento, en 1904 los contenidos del libro de Ludwig Schläfli recién se publicaron por primera vez en una revista de matemática holandesa, la Nieuw Archief voor de Wiskunde ; en tanto que por otro lado, Bernard Riemann  en el año 1854, esto es dos años después de que Ludwig Schläfli hubiera terminado con su estudio, se dice que comenzó a hablar y trabajar en torno al  concepto de variedad de  n-dimensional.

De esta manera es como comenzó a abrirse camino el concepto de espacios de mayores dimensiones, aunque los trabajos geométricos tempranos de este gran matemático suizo, no merecieron la debida atención hasta que la hija de George Boole, el creador de la lógica simbólica, Alicia Boole se interesara por ellos y  así redescubre su libro.

Al parecer, todavía quedan numerosos problemas que resolver en el área de investigación abierta por Ludwig Schläfli.

 

 

 

Identidad gnomónica

Cuando en la ciencia gnomónica se trata de representar los movimientos aparentes del sol en la bidimensionalidad de un plano, resulta muy práctico aplicar el método de proyección estereográfica y confeccionar los diagramas solares especialmente aplicados a los requerimientos gnomónicos.

Este método, se basa en convertir la tridimensionalidad esférica y unitaria del espacio celeste, en un plano circular y horizontal de radio unitario, que en tanto describe el recorrido solar, también representa al plano visual del lugar estudiado teniendo al observador como centro y a su cabeza rotando los 360º esféricos.

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Para lograr este cometido, se toma al nadir (contra cenít) como foco y a él se refieren todas las proyecciones de manera tal, que dichas proyecciones, al atravesar el plano circular y unitario del lugar, generan puntos alineados en una serie armónica de arcos circulares que le otorgan al sitio una identidad gnomónica propia.

En el plano circular del diagrama solar, los equinoccios y solsticios aparecen simultáneamente representados y haciendo que el plano de la eclíptica corte a la esfera terrestre de radio unitario en distintos ángulos (buzamientos) mediante diferentes arcos circulares, como manera de facilitar su visualización en una sola mirada y percatarse así, del desplazamiento trópico del sol conforme a la latitud del lugar y época del año.

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Huelga decir que, dado la consideración unitaria del radio visual en que se funda el diagrama solar circular que proponemos, todos sus resultados se correlacionan con los de las funciones trigonométricas correspondientes.

Por eclíptica entendemos a la línea curva por donde transita el Sol alrededor de la Tierra, en lo que, visto desde la Tierra, llamamos movimiento aparente del sol.

Ludwig Schläfli históricamente se halla entonces entre los matemáticos que han trabajado y aplicado las proyecciones estereográficas, entre otras cuestiones, a la creación de un imaginario espacio de 4 dimensiones. También demostró teoremas de geometría relativos a la representación de un espacio tetradimensional donde particularmente la cuarta dimensión, era una pura abstracción que supo demostrar en su obra Theorie der vielfachen Kontinuität  –Teoría de la continuidad múltiple- publicada en 1852

Ludwig, con el objeto de procurar una demostración coherente y en lo posible tratar de construir objetos en cuatro dimensiones, supo usar diferentes artificios geométricos que incluyen la proyección de sombras que por otro lado, abren la posibilidad de conjeturar y asociar propiedades con la gnomónica.

También permiten  la realización de gráficos de los recorridos del sol y cálculos de sombras, aspectos específicos estos,  que interesan a la ciencia gnomónica y para los que la proyección estereográfica resulta de suma importancia; incluso a pesar de que en algunos casos, pueda resultar teóricamente defectuoso al momento de intentar superar el estadio conjetural en que se nos presenta y darle una acabada demostración matemática.

 

Rubén CALVINO

 

 

REFERENCIAS

 

Ludwig Schläfli

https://es.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schl%C3%A4fli

 

 

 

 

 

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